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Geometria Diferencial

Título
Distribuição de sístoles de superfícies aritméticas
Expositor
Cayo Dória

IMPA
Data
Terça-feira, 10 de outubro de 2017, 15:30
Local
Sala 236.
Resumo

Para cada $g\geq 2$ seja $\mathcal{M}_g$ o espaço moduli das superfíceis hiperbólicas fechadas de gênero $g$ munido da métrica de Weil-Petersson. Em 2001, G.Schumacher e S.Trapani mostraram que o volume de $\mathcal{M}_g$ com respeito a essa métrica tem o seguinte comportamento $$ \lim_{g \to \infty} \frac{ \log vol( \mathcal{M}_g) }{g\log g}=2.$$ 

Por outro lado, o conjunto $\mathcal{AS}_g$ formado pelas superfícies aritméticas de gênero $g$ é finito. Em 2010, M.Belolipetsky, T.Gelander, A.Lubotzky e A.Shalev mostraram que a cardinalidade de $\mathcal{AS}_g$ cumpre $$ \lim_{g\to \infty}\frac{\log|\mathcal{AS}_g|}{g\log g}=2.$$ Até o presente momento essa coincidência permanece misteriosa, o que nos leva à pergunta natural: Como as superfícies aritméticas estão distribuídas no espaço de todas as superfíceis hiperbólicas? 

A sístole de uma superfície hiperbólica fechada é o comprimento de sua menor geodésica fechada, devido à sua importância a função sístole tem sido estudada extensivamente nos últimos anos, nesta palestra discutiremos como o conjunto sístole$(\mathcal{AS}_g )$ está assintoticamente distribuído em sístole$(\mathcal{M}_g)$ quando $g$ vai para o infinito. Nossos resultados usam uma combinação de fatos inspirados em trabalhos de B.Baumslag e B.Bollobas.